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Fonctions intéressantes dans R

2026-04-01T08:44:59Z

Admin :

Liste de fonctions intéressantes dans R

'''aggregate()''': résumer facilement un gros dataset
* p.ex. : aggregate(my_data[,c("stats","faim","stress")], list(my_data$heure, my_data$sex, mean))
* permet de sélectionner les variables "stats", "faim" et "stress", et d'obtenir leur moyenne selon les critères "heure" et "sex"

'''ifelse()''' (une utilisation particulière): on peut transformer une variable dichotomique en dummy variable en une seule ligne avec cette fonction:
* résultat <- ifelse(variableN == "Yes", 1, 0)
* signifie : tous les individus de la variableN qui ont la valeur "Yes" sont transformés en "1", les autres sont transformés en 0

'''pairs.panels(''dataframe'')''': permet d'avoir une grosse matrice permettant d'avoir les distibutions, les coefficients de corrélation et les graphes des résidus

Fonctions intéressantes dans R

2026-04-01T08:37:26Z

Admin : Page créée avec « Liste de fonctions intéressantes dans R '''ifelse()''' (une utilisation particulière): on peut transformer une variable dichotomique en dummy variable en une seule ligne avec cette fonction: * résultat <- ifelse(variableN == "Yes", 1, 0) * signifie : tous les individus de la variableN qui ont la valeur "Yes" sont transformés en "1", les autres sont transformés en 0 '''aggregate()''': résumer facilement un gros dataset * p.ex. : aggregate(my_data[,c("st... »

Liste de fonctions intéressantes dans R

'''ifelse()''' (une utilisation particulière): on peut transformer une variable dichotomique en dummy variable en une seule ligne avec cette fonction:
* résultat <- ifelse(variableN == "Yes", 1, 0)
* signifie : tous les individus de la variableN qui ont la valeur "Yes" sont transformés en "1", les autres sont transformés en 0

'''aggregate()''': résumer facilement un gros dataset
* p.ex. : aggregate(my_data[,c("stats","faim","stress")], list(my_data$heure, my_data$sex, mean))
* permet de sélectionner les variables "stats", "faim" et "stress", et d'obtenir leur moyenne selon les critères "heure" et "sex"

Glossaire

2026-03-18T09:08:12Z

Admin : /* Degré(s) de liberté */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Corrélation ===
Elle représente la force du lien entre deux variables (e.g. X, Y). Le coefficient de corrélation est compris entre -1 et 1. On le calcule en divisant la [[Glossaire#Covariance|covariance]] par le produit de leurs [[Glossaire#Écart-type|écarts-types]].
<math>r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_x s_y}</math>
=== Covariance ===
Elle permet de déterminer la variabilité conjointe de deux variables. On la calcule via la la moyenne des produits des écarts de chaque variable par rapport à sa propre moyenne. C'est à dire :

<math>\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})</math>

Elle est utilisée pour le calcul des [[Glossaire#Corrélation|coefficients de corrélation]] entre deux variables ainsi que pour le calcul des paramètres des régressions linéaires.

La covariance d'une variable avec elle-même est la variance de la variable (Cov(X, X) = Var(X)

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

Pour l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]], on mesure la taille d'effet avec l'''η²partiel''.
* si η²partiel'' < .01, on considère l'effet comme "petit"
* si η²partiel'' entre .06 et .09, on le considère comme "moyen"
* si η²partiel'' entre .16 et .25, on le considère comme "petit"

On peut l'utiliser pour réaliser des [[Calculs de puissance|calculs de puissance]] et trouver des tailles d'échantillon.

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

[[Catégorie: ANOVA]]
[[Catégorie: Méthode]]

Calculs de puissance

2026-03-16T10:15:48Z

Admin : /* Calcul de la taille d'échantillon */

Calculs de puissance

2026-03-16T10:15:35Z

Admin : /* Pour une ANOVA 2x2 mixte */

Calculs de puissance

2026-03-16T10:05:26Z

Admin : /* Pour une ANOVA 2x2 design intersujet */

Cette page est dédiée aux calculs de puissance avec G*Power

== Pour une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA 2x2 design intersujet]] ==
Tiré du cours 7 de statistiques I de Paolo Ghisletta (vers 1:18:00). C'est un design inter où on compare la difficulté de mots (connu/inconnu) et des types de méthodes (définition de dictionnaire / lecture dans un passage qui traite du sujet)

=== Données ===

{| class="wikitable"
|+ Tableau des scores
|-
! !! num DF !! den DF !! MSE !! F !! pes !! Pr(>F)
|-
| Mot || 1 || 16 || 2.275 || 44.5055 || 0.73556 || 5.731e-06***
|-
| Méthode || 1 || 16 || 2.275 || 16.0220 || 0.50034 || 0.001026**
|-
| Mot:Méthode || 1 || 16 || 2.275 || 6.3516 || 0.28417 || 0.022728*

|}

Pour info:
* num DF: degré de liberté du numérateur
* den DF: degré de liberté du dénominateur
* MSE: ''mean squared error'' (carré de l'erreur moyenne)
* F : statistique F
* pes : ''partial eta squared'', éta carré partiel (taille d'effet)
* Pr(>F): p-valeur

=== Calcul de la taille d'échantillon ===

Les ANOVA dépendent de la statistique F ; on choisit donc les "F-tests" dans la liste des "test family"

Notre tableau nous donne des informations concernant les effets principaux, ainsi que leurs effets d'interaction. On prend donc "ANOVA: fixed effects, special, main effects dans interaction" dans "statistical test"

Comme on vise à avoir la taille de notre population, on choisit l'option "A priori: Compute required sample size - Given α, power and effect size"

G*power demande :
* Effect size f : on ne peut pas l'obtenir sur la base des éta carrés, il faut donc cliquer sur '''Determine =>''' et choisir "direct". Là, on pourra calculer notre effet f sur la base de l'éta carré partiel
* α err prob: probabilité de faire une erreur α (i.e. erreur de type I; rejeter H0 alors qu'elle est vraie). Par convention on la fixe à .05
* Power (1-β err prob): on la fixe à .8
* Numerator DF : on voit que dans notre tableau, Num DF = 1
* Number of groups : on a une ANOVA 2x2 => 4 groupes

[[Fichier:Resultat G*Power.png|600px|vignette|centré|alt=Résultat G*Power|Résultat pour l'effet du mot]]

On va le faire 3x, une par effet ; le seul élément qui change est l'effect size f
* Pour l'effet "mot", 7 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 2 par cellule)
* Pour l'effet "Méthode", 11 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 3 par cellule)
* Pour l'effet d'interaction, 23 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 6 par cellule)

Sur cette base, on peut déterminer que, par précaution, il vaut mieux avoir 24 participant·e·s, 6 par cellule.

== Pour une ANOVA 2x2 mixte ==
Ici, on a un effet "within-between" (i.e. la méthode se fait en intra)

=== Données ===

{| class="wikitable"
|+ Tableau des scores
|-
! !! num DF !! den DF !! MSE !! F !! pes !! Pr(>F)
|-
| Mot || 1 || 16 || 2.275 || 44.5055 || 0.73556 || 5.731e-06***
|-
| Méthode || 1 || 16 || 2.275 || 16.0220 || 0.50034 || 0.001026**
|-
| Mot:Méthode || 1 || 16 || 2.275 || 6.3516 || 0.28417 || 0.022728*

|}

Pour info:
* num DF: degré de liberté du numérateur
* den DF: degré de liberté du dénominateur
* MSE: ''mean squared error'' (carré de l'erreur moyenne)
* F : statistique F
* pes : ''partial eta squared'', éta carré partiel (taille d'effet)
* Pr(>F): p-valeur

=== Calcul de la taille d'échantillon ===

Les ANOVA dépendent de la statistique F ; on choisit donc les "F-tests" dans la liste des "test family"

Notre tableau nous donne des informations concernant les effets principaux, ainsi que leurs effets d'interaction. On prend donc "ANOVA: fixed effects, special, main effects dans interaction" dans "statistical test"

Comme on vise à avoir la taille de notre population, on choisit l'option "A priori: Compute required sample size - Given α, power and effect size"

G*power demande :
* Effect size f : on ne peut pas l'obtenir sur la base des éta carrés, il faut donc cliquer sur '''Determine =>''' et choisir "direct". Là, on pourra calculer notre effet f sur la base de l'éta carré partiel
* α err prob: probabilité de faire une erreur α (i.e. erreur de type I; rejeter H0 alors qu'elle est vraie). Par convention on la fixe à .05
* Power (1-β err prob): on la fixe à .8
* Numerator DF : on voit que dans notre tableau, Num DF = 1
* Number of groups : on a une ANOVA 2x2 => 4 groupes

[[Fichier:Resultat G*Power.png|600px|vignette|centré|alt=Résultat G*Power|Résultat pour l'effet du mot]]

On va le faire 3x, une par effet ; le seul élément qui change est l'effect size f
* Pour l'effet "mot", 7 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 2 par cellule)
* Pour l'effet "Méthode", 11 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 3 par cellule)
* Pour l'effet d'interaction, 23 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 6 par cellule)

Sur cette base, on peut déterminer que, par précaution, il vaut mieux avoir 24 participant·e·s, 6 par cellule.

[[Catégorie: ANOVA]]
[[Catégorie: Méthode]]

Calculs de puissance

2026-03-16T09:57:36Z

Admin : /* Pour une ANOVA 2x2 design inter */

Glossaire

2026-03-16T09:57:02Z

Admin : /* Taille d'effet */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

Pour l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]], on mesure la taille d'effet avec l'''η²partiel''.
* si η²partiel'' < .01, on considère l'effet comme "petit"
* si η²partiel'' entre .06 et .09, on le considère comme "moyen"
* si η²partiel'' entre .16 et .25, on le considère comme "petit"

On peut l'utiliser pour réaliser des [[Calculs de puissance|calculs de puissance]] et trouver des tailles d'échantillon.

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

[[Catégorie: ANOVA]]
[[Catégorie: Méthode]]

Glossaire

2026-03-16T09:56:09Z

Admin : /* Intervalle de confiance */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

Pour l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]], on mesure la taille d'effet avec l'''η²partiel''.
* si η²partiel'' < .01, on considère l'effet comme "petit"
* si η²partiel'' entre .06 et .09, on le considère comme "moyen"
* si η²partiel'' entre .16 et .25, on le considère comme "petit"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

[[Catégorie: ANOVA]]
[[Catégorie: Méthode]]

Glossaire

2026-03-16T09:55:38Z

Admin :

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

Pour l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]], on mesure la taille d'effet avec l'''η²partiel''.
* si η²partiel'' < .01, on considère l'effet comme "petit"
* si η²partiel'' entre .06 et .09, on le considère comme "moyen"
* si η²partiel'' entre .16 et .25, on le considère comme "petit"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

[[Catégorie: ANOVA]]
[[Catégorie: Méthode]]

Calculs de puissance

2026-03-16T09:55:24Z

Admin :

Cette page est dédiée aux calculs de puissance avec G*Power

== Pour une ANOVA 2x2 design inter ==
Tiré du cours 7 de statistiques I de Paolo Ghisletta (vers 1:18:00). C'est un design inter où on compare la difficulté de mots (connu/inconnu) et des types de méthodes (définition de dictionnaire / lecture dans un passage qui traite du sujet)

=== Données ===

{| class="wikitable"
|+ Tableau des scores
|-
! !! num DF !! den DF !! MSE !! F !! pes !! Pr(>F)
|-
| Mot || 1 || 16 || 2.275 || 44.5055 || 0.73556 || 5.731e-06***
|-
| Méthode || 1 || 16 || 2.275 || 16.0220 || 0.50034 || 0.001026**
|-
| Mot:Méthode || 1 || 16 || 2.275 || 6.3516 || 0.28417 || 0.022728*

|}

Pour info:
* num DF: degré de liberté du numérateur
* den DF: degré de liberté du dénominateur
* MSE: ''mean squared error'' (carré de l'erreur moyenne)
* F : statistique F
* pes : ''partial eta squared'', éta carré partiel (taille d'effet)
* Pr(>F): p-valeur

=== Calcul de la taille d'échantillon ===

Les ANOVA dépendent de la statistique F ; on choisit donc les "F-tests" dans la liste des "test family"

Notre tableau nous donne des informations concernant les effets principaux, ainsi que leurs effets d'interaction. On prend donc "ANOVA: fixed effects, special, main effects dans interaction" dans "statistical test"

Comme on vise à avoir la taille de notre population, on choisit l'option "A priori: Compute required sample size - Given α, power and effect size"

G*power demande :
* Effect size f : on ne peut pas l'obtenir sur la base des éta carrés, il faut donc cliquer sur '''Determine =>''' et choisir "direct". Là, on pourra calculer notre effet f sur la base de l'éta carré partiel
* α err prob: probabilité de faire une erreur α (i.e. erreur de type I; rejeter H0 alors qu'elle est vraie). Par convention on la fixe à .05
* Power (1-β err prob): on la fixe à .8
* Numerator DF : on voit que dans notre tableau, Num DF = 1
* Number of groups : on a une ANOVA 2x2 => 4 groupes

[[Fichier:Resultat G*Power.png|600px|vignette|centré|alt=Résultat G*Power|Résultat pour l'effet du mot]]

On va le faire 3x, une par effet ; le seul élément qui change est l'effect size f
* Pour l'effet "mot", 7 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 2 par cellule)
* Pour l'effet "Méthode", 11 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 3 par cellule)
* Pour l'effet d'interaction, 23 participant·e·s suffisent à trouver l'effet (i.e. 6 par cellule)

Sur cette base, on peut déterminer que, par précaution, il vaut mieux avoir 24 participant·e·s, 6 par cellule.

[[Catégorie: ANOVA]]
[[Catégorie: Méthode]]

Calculs de puissance

2026-03-16T09:54:59Z

Admin : /* Pour une ANOVA 2x2 design inter */

Fichier:Resultat G*Power.png

2026-03-16T09:51:11Z

Admin :

Résultats G*Power

Calculs de puissance

2026-03-16T09:37:24Z

Admin : /* Pour une ANOVA 2x2 design inter */

Calculs de puissance

2026-03-16T09:34:40Z

Admin : Page créée avec « Cette page est dédiée aux calculs de puissance avec G*Power == Pour une ANOVA 2x2 design inter == Tiré du cours 7 de statistiques I de Paolo Ghisletta (vers 1:18:00). C'est un design inter où on compare la difficulté de mots (connu/inconnu) et des types de méthodes (définition de dictionnaire / lecture dans un passage qui traite du sujet) {| class="wikitable" |+ Tableau des scores |- ! !! num DF !! den DF !! MSE !! F !! pes !! Pr(>F) |- | Mot || Exemp... »

Glossaire

2026-03-16T08:57:48Z

Admin : /* Taille d'effet */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

Pour l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]], on mesure la taille d'effet avec l'''η²partiel''.
* si η²partiel'' < .01, on considère l'effet comme "petit"
* si η²partiel'' entre .06 et .09, on le considère comme "moyen"
* si η²partiel'' entre .16 et .25, on le considère comme "petit"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:51:39Z

Admin : /* Puissance */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:51:21Z

Admin : /* Erreur */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type II (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:51:05Z

Admin : /* Erreur */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type II (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:49:33Z

Admin : /* Puissance */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]])
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type II (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:49:04Z

Admin : /* P-valeur */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]]
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type II (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:48:30Z

Admin : /* Puissance */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]]
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type II (i.e. rejeter H0 à tort)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:44:57Z

Admin : /* Puissance */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

En général, la puissance dépend:
* de la [[Glossaire#Taille d'effet|taille d'effet]] (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H0 et H1
* de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf [[Glossaire#Théorème_central_limite|théorème central limite]]
* de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type II

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-16T08:39:59Z

Admin : /* Skew */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Taille d'effet ===
On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T10:07:15Z

Admin : /* ANOVA "simple" */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T10:04:27Z

Admin : /* ANOVA "simple" */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T10:03:54Z

Admin : /* ANOVA à mesure répétée */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δjk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur
**σk = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
**δjk = effet d’interaction (équivalent à ψjk)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**τij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**ρik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
**υijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec Eijk)
**Eijk = erreur (ou variabilité)

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T09:58:19Z

Admin : /* ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée ====
Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : '''Yijk = μ + γj + σk + δk + πj + τij + ρik + υijk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij

==== ANOVA mixte ====
Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij à l'AOVA inter

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T09:46:14Z

Admin : /* ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte ====

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

l’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T09:45:28Z

Admin : /* ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte ====

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

l’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T09:35:31Z

Admin : /* ANOVA "simple" */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
'''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte ====

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

l’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-13T09:35:21Z

Admin : /* ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte ====

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

l’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : '''Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk'''
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-12T11:16:16Z

Admin : /* ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte ====

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

l’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : Yijk = μ + γj + θk + ψjk + πj + ξij + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**πj = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra)
**ξij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
* on a donc ajouté les facteurs πj et ξij

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-12T11:08:40Z

Admin : /* ANOVA */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

==== ANOVA "simple" ====

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

==== ANOVA à mesure répétée et ANOVA mixte ====

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'''ANOVA à mesure répétée''. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

l’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond àξπ :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-12T11:01:29Z

Admin : /* Concepts statistiques */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

Si on utilise une ''ANOVA à mesure répétée'', on améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Finalement, on peut avoir une ''ANOVA mixte'' qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-12T10:58:50Z

Admin : /* F de Fisher */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-12T10:56:54Z

Admin : /* ANOVA */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
*où :
**Y = VD
**i = numéro de participant·e dans chaque groupe
**j = modalité du premier facteur
**k = modalité du 2e facteur
*et
**μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
**γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
**θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
**ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
**Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k).

Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

Glossaire

2026-03-12T10:47:56Z

Admin : /* F de Fisher */

Petit glossaire pour définir certains concepts

== Définitions ==
=== Emotion ===
a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (''recueil d'informations'') and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; ''in'' Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

== Concepts statistiques ==
=== ANOVA ===
L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :
* d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
* de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)
L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :
*elle permet de voir les effets d’interactions
*elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
*elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
*elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
*elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à :
Yijk = μ + γj + θk + ψjk + Eijk
où :
*Y = VD
*i = numéro de participant·e dans chaque groupe
*j = modalité du premier facteur
*k = modalité du 2e facteur
et
*μ = moyenne générale (H0μ : μ = 0)
*γj = effet du 1er facteur (H0γ : γ1 = γ2 = γ3 = … = γa = 0)
*θk = effet du 2e facteur (H0θ : θ1 = θ2 = θ3 = … = θb = 0)
*ψjk = effet d’interaction (H0ψ : ψ11 = ψ12 = ψ13 = … = ψab = 0)
*Eijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Elle se mesure avec la statistique [[Glossaire#F_de_Fisher | F (de Fisher)]]

=== Aplatissement ===
C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe ''platykurtic'' (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe ''leptokurtic'' (i.e. trop pointue)

=== Asymétrie ===
C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: <math>\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^3}{\left(\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right)^3}</math>

=== Degré(s) de liberté ===
Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

=== Écart-type ===
C'est la racine carrée de la [[Glossaire#Variance|Variance]]: <math> s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} </math>. L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:
* 68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
* 95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - ''root mean square error'').

=== Erreur ===
En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:
* l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H0 à tort
* l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H0 à tort

{| class="wikitable"
|+ Tableau de décision
|-
| || '''H0 est vraie''' || '''H0 est fausse'''
|-
| '''Rejet de H0''' || Erreur de type I
Pr = α
| (Sensibilité, ou Puissance)
Rejet correct
Pr = 1 - β
|-
| '''Garder H0''' || Non-rejet correct (spécificité)
Pr = 1 - α
| Erreur de type II
Pr = β
|}

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H0 alors que H0 est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H0, alors qu'on devrait la rejeter).

=== Erreur de mesure ===
L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée <math>\epsilon</math>, et cette dernière suit une loi normale <math>\epsilon \sim \mathcal{N}(0, {\sigma}^2)</math>

Cela suit le principe ''Données = Modèle + Erreur''

=== Erreur-type ===
Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

<math>SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> où "n" est la taille d'échantillon, et <math>\sigma</math> est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]], lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des [[Glossaire#Intervalle de confiance|intervalles de confiance]]

=== F de Fisher ===
On l'utilise dans l'[[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : <math>F = \frac{variance \ des \ moyennes \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}{moyenne \ des \ variances \ (des \ scores \ dans \ chaque \ groupe)}</math>

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k).

Dans une [[Glossaire#ANOVA|ANOVA]] à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :
* l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
* l'effet d'interaction : F(2, 54) = ''score'', p = ''score'' (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

[[Fichier:Exemples ddl f fisher.png|600px|vignette|centré|alt=Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F|Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F]]

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

=== Intervalle de confiance ===
L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]].

<math>CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, où <math>\bar{X}</math> correspond à la moyenne de l'échantillon, et <math>\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math> correspond à l'[[[[Glossaire#Erreur-type|erreur-type]]

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

=== Kurtosis ===
Voir [[Glossaire#Aplatissement|aplatissement]]

=== Loi normale ===
(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son [[Glossaire#Écart type|écart type]] "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : <math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>

La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²"
<math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[Glossaire#Théorème central limite|théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Glossaire#Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

=== Modèle ===
On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :
* l'ajustement (ou la ''goodness of fit''). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec <math>{\chi}^2</math>)
* la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
* la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

=== P-valeur ===
Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.

C'est :
* le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H0 est vraie
* la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H0 est vraie

=== Puissance ===
Ce concept est très lié à la question de l'[[Glossaire#Erreur|erreur]]. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II).

En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8)

=== Skew ===
Voir [[Glossaire#Asymétrie|asymétrie]]

=== Test de Student ===
C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score ''t'' où <math> t = \frac{m - \mu_{H0}}{s_m} = \frac{m - \mu_{H0}}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}</math>

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : <math> t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45</math>

Le '''score t'''est une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score '''t''' à la distribution théorique sous H0 où p-val = probH0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

=== Théorème central limite ===
Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population.
Mathématiquement, on a :
* <math> \mu_{m_x} = \mu </math>
* <math> \sigma_{m_x}^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

=== Variance ===
En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'[[Glossaire#Écart-type|écart-type]].

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: <math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>

On l'appelle parfois aussi l'''écart quadratique moyen''.

== Sources ==

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7

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Exemples des différentes courbes selon les DDL pour les statistiques F

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Admin : /* F de Fisher */

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