Glossaire

Petit glossaire pour définir certains concepts

Définitions

Emotion

a fast, multicomponentional affective phenomenon composed of two distinct phases: elicitation (recueil d'informations) and response (Sander, 2013 ; Nerantzaki et al., 2021; in Erdemli, Aurdin & Sander, 2025)

Concepts statistiques

ANOVA

L’ANOVA (ANalysis Of VAriance) est un modèle qui généralise le test t de Student pour analyser une variable dépendante quantitative continue.

L'ANOVA s'intéresse à la différence de moyenne entre chaque des groupes, étant donné la variabilité dans chaque groupe.

On l’utilise pour analyser une VD continue en fonction :

d’un critère de catégorisation de plus de 2 classe (i.e. une VI avec plus de 2 modalités) ; on parle d’ANOVA simple (ou à 1 facteur)
de plusieurs critères de catégorisation considérés simultanément (i.e. plusieurs VI croisées) ; on parle d’ANOVA factorielle (i.e. à plusieurs facteurs)

L’intérêt de l’ANOVA par rapport à plusieurs tests de Student sont que :

elle permet de voir les effets d’interactions
elle permet de tester des VI avec plus de 2 modalités
elle permet d’obtenir l’effet principal de chaque VI
elle permet de tester spécifiquement si 2 modalités sont différentes entre elles
elle permet de mieux contrôler le taux d’erreurs de Type I (i.e. penser avoir un résultat significatif alors qu’il n’y a pas d’effet)

Elle se mesure avec la statistique F (de Fisher)

ANOVA "simple"

l’équation de l’anova à 2 facteurs correspond à : Y_ijk = μ + γ_j + θ_k + ψ_jk + E_ijk

où :
- Y = VD
- i = numéro de participant·e dans chaque groupe
- j = modalité du premier facteur
- k = modalité du 2e facteur
et
- μ = moyenne générale (H₀^μ : μ = 0)
- γ_j = effet du 1er facteur (H₀^γ : γ₁ = γ₂ = γ₃ = … = γ_a = 0)
- θ_k = effet du 2e facteur (H₀^θ : θ₁ = θ₂ = θ₃ = … = θ_b = 0)
- ψ_jk = effet d’interaction (H₀^ψ : ψ₁₁ = ψ₁₂ = ψ₁₃ = … = ψ_ab = 0)
- E_ijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)

Si on avait une anova à 3 facteurs, on aurait 3 effets principaux + 3 interactions deux à deux + 1 interaction entre les 3 (ce qui complexifie beaucoup l'équation).

ANOVA à mesure répétée

Si on utilise des variables "intra", on va parler d'ANOVA à mesure répétée. On améliore la validité interne de l'expérience (chaque sujet devient "son propre contrôle"), mais on viole le postulat d'indépendance des observation. On doit donc utiliser une statistique adaptée.

Dans un design 2x2, on aura donc 4 mesures par individu (e.g. la performance le matin/soir et début/fin de semaine).

L’équation de d'une ANOVA 2x2 à mesures répétées correspond à : Y_ijk = μ + γ_j + σ_k + δ_jk + π_j + τ_ij + ρ_ik + υ_ijk + E_ijk

où :
- Y = VD
- i = numéro de participant·e dans chaque groupe
- j = modalité du premier facteur
- k = modalité du 2e facteur
et
- μ = moyenne générale (H₀^μ : μ = 0)
- γ_j = effet du 1er facteur
- σ_k = effet du 2e facteur (équivalent à θ)
- δ_jk = effet d’interaction (équivalent à ψ_jk)
- π_j = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
- τ_ij = effet d’interaction F1xF2 (erreur associée au facteur intra, non testée)
- ρ_ik = effet d’interaction F2xF1 (erreur associée au facteur intra, non testée)
- υ_ijk = effet d’interaction F1xF2xSujet (confondue avec E_ijk)
- E_ijk = erreur (ou variabilité)

ANOVA mixte

Finalement, on peut avoir une ANOVA mixte qui contient des facteurs intra et des facteurs inter.

L’équation de d'une ANOVA 2x2 mixte correspond à : Y_ijk = μ + γ_j + θ_k + ψ_jk + π_j + ξ_ij + E_ijk

où :
- Y = VD
- i = numéro de participant·e dans chaque groupe
- j = modalité du premier facteur
- k = modalité du 2e facteur
et
- μ = moyenne générale (H₀^μ : μ = 0)
- γ_j = effet du 1er facteur (H₀^γ : γ₁ = γ₂ = γ₃ = … = γ_a = 0)
- θ_k = effet du 2e facteur (H₀^θ : θ₁ = θ₂ = θ₃ = … = θ_b = 0)
- ψ_jk = effet d’interaction (H₀^ψ : ψ₁₁ = ψ₁₂ = ψ₁₃ = … = ψ_ab = 0)
- π_j = effet sujet (i.e. dans quelle mesure chaque personne est "différente d'elle même" entre deux mesures intra ; e.g. une personne qui est plus faible que toutes les autres que ce soit mesuré au temps 1 ou 2)
- ξ_ij = interaction (une autre estimation qui inclue la question des différence entre 2 mesures) ; cet effet n'est pas quantifié. Il est mélangé avec l'erreur
- E_ijk = erreur (ou variabilité pour chaque cellule)
on a donc ajouté les facteurs π_j et ξ_ij à l'AOVA inter

Aplatissement

C'est l'aplatissement par rapport à une courbe normale ; un kurtosis négatif indique une courbe platykurtic (i.e. trop plate), un kurtosis positif indique une courbe leptokurtic (i.e. trop pointue)

Asymétrie

C'est un concept assez important en statistique. Un skew négatif indique une courbe en J (i.e. beaucoup de valeurs très grandes), un skew positif indique une courbe en L (i.e. beaucoup de valeurs très petites).

Elle se calcule avec: $γ_{1} = \frac{\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{3}}{{(\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}})}^{3}}$

Degré(s) de liberté

Souvent abrégé en DDL ou Df (degrees of freedom). Nombre de valeurs dans un calcul final qui sont libres de varier.

Dans le cadre d'un t-test (test de Student), le degré de liberté correspond à N-1 (i.e. la taille de l'échantillon moins 1). En gros, il y a un facteur fixe (la moyenne) et N-1 valeurs qui peuvent varier autour de cette moyenne.

Écart-type

C'est la racine carrée de la Variance: $s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ . L'interprétation qu'on peut faire de ce dernier est que:

68% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne
95% de la population se situe à ±1 sd de la moyenne

En soit c'est un cas particulier de la racine de l'erreur quadratique moyenne (ou RMSE - root mean square error).

Erreur

En statistique, on relève deux types d'erreurs principales: l'erreur de type I et l'erreur de type II:

l'erreur de type I (ou faux positif) correspond au rejet de H₀ à tort
l'erreur de type II (ou faux négatif) correspond à la conservation de H₀ à tort

Tableau de décision
	H₀ est vraie	H₀ est fausse
Rejet de H₀	Erreur de type I Pr = α	(Sensibilité, ou Puissance) Rejet correct Pr = 1 - β
Garder H₀	Non-rejet correct (spécificité) Pr = 1 - α	Erreur de type II Pr = β

Avec les seuils classiquement fixés (i.e. α = 0.05, 1-β = 0.8 et β = 0.2), alors on peut considérer qu'on a 5% de chances de faire une erreur de type I (rejeter H₀ alors que H₀ est vraie), et 20% de faire une erreur de type II (conserver H₀, alors qu'on devrait la rejeter).

Erreur de mesure

L'erreur de mesure correspond à la différence entre une valeur mesurée et sa valeur vraie. Elle est notée $ϵ$ , et cette dernière suit une loi normale $ϵ \sim 𝒩 (0, σ^{2})$

Cela suit le principe Données = Modèle + Erreur

Erreur-type

Parfois appelée erreur standard (ou SEM, standard error to the mean), elle mesure la variabilité d'une moyenne si l'on répétait une expérience plusieurs fois. Elle répond à la question "Quelle est la fiabilité de ma moyenne calculée par rapport à la vraie moyenne de la population ?"

$S E M = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ où "n" est la taille d'échantillon, et $σ$ est l'écart-type de ce dernier. Donc, plus un échantillon est grand, plus la SEM rétrécit.

A ne pas confondre avec l'écart-type, lequel est plus une mesure de comment les valeurs individuelles d'un échantillon sont dispersées autour d'une moyenne moyenne. De plus, l'écart-type n'est pas sensible à la taille de l'échantillon.

Elle sert au calcul des intervalles de confiance

F de Fisher

On l'utilise dans l'ANOVA pour tester les différences entre chaque groupe, étant donné leur variabilité.

Conceptuellement, on peut le définir comme : $F = \frac{v a r i a n c e d e s m o y e n n e s (d e s s c o r e s d a n s c h a q u e g r o u p e)}{m o y e n n e d e s v a r i a n c e s (d e s s c o r e s d a n s c h a q u e g r o u p e)}$

Ce test est toujours positif ; plus ce rapport s'éloigne de 1, plus l'effet est grand.

F est caractérisé par le degré de liberté du numérateur (k-1) et du dénominateur (n-k). Dans une ANOVA à 3x2 avec 60 participant·e·s, on va rapporter :

l'effet principal de la 1e VI : F(2, 54) = score, p = score (ici, 2 = 3-1, et 54 = 60-(3x2))
l'effet principal de la 2e VI : F(1, 54) = score, p = score (ici, 1 = 2-1, et 54 = 60-(3x2))
l'effet d'interaction : F(2, 54) = score, p = score (ici, 2 = (3-1)x(2-1), et 54 = 60-(3x2))

On voit ici que les différents degrés de liberté vont avoir un impact les courbes qui en découlent, et donc le seuil qui sera fixé pour avoir un α = 0.05.

Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance (parfois à 90%, souvent à 95%) est un intervalle qu'on obtient à partir du calcul de l'erreur-type.

$C I_{95 %} = \bar{X} \pm 1, 96 \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}$ , où $\bar{X}$ correspond à la moyenne de l'échantillon, et $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ correspond à l'erreur-type

On interprète cette valeur avec l'idée que, si nous répétions l’expérience à maintes reprises et calculions un intervalle de confiance de 95 % à chaque fois, alors 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. De façon plus générale, 95 % de tous les intervalles de confiance construits à l’aide de cette procédure devraient contenir la moyenne réelle de la population.

Donc, si je reproduis 100x l'expérience, a priori, 95 intervalles de confiance calculés contiendront la vraie valeur.

Kurtosis

Voir aplatissement

Loi normale

(tiré de wiki) : Une loi normale est une loi de probabilité qui dépend de deux paramètres : son espérance (ou moyenne), notée μ, et son écart type "σ". La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ et d'écart type "σ" est donnée par : $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$

La courbe de cette densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche, entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi normale, elle est dite gaussienne ou normale et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance "σ²" $X \sim 𝒩 (μ, σ^{2})$ . La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, $𝒩 (0, 1)$ , est appelée loi normale centrée réduite ou loi normale standard.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au théorème central limite. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

Modèle

On peut le définir comme une représentation mathématique de données, utilisée pour analyser, expliquer ou prédire des phénomènes complexes.

On considère 3 caractéristiques d'un modèle quantifiable et objectif :

l'ajustement (ou la goodness of fit). On peut l'estimer avec des méthodes différentes, comme la méthode des moindres carrés (estimé avec R²), ou encore le maximum de vraisemblance (le plus utilisé, estimé avec $χ^{2}$ )
la parcimonie (ou, à l'inverse, sa complexité)
la généralisabilité (i.e. dans quelle mesure il permet d'expliquer un même phénomène dans d'autres échantillons)

P-valeur

Ce n'est pas la probabilité que H₀ soit vraie.

C'est :

le risque qu'on prend à dire "il y a une différence" alors que H₀ est vraie
la probabilité d'obtenir un résultat autant ou plus extrême que celui obtenu si H₀ est vraie

Puissance

Ce concept est très lié à la question de l'erreur. On peut la décrire comme la probabilité de rejeter une hypothèse nulle quand elle est vraiment fausse. On la nomme 1−β (où β est la probabilité de faire une erreur de type II). En général, on place le seuil "1-β" à 80% (i.e. 0.8).

En général, la puissance dépend:

de la taille d'effet (i.e. la distance moyenne entre les distributions sous H₀ et H₁
de la taille d'échantillon: plus n est élevé, plus les distributions sont étroites (cf théorème central limite)
de α: plus α est grand, plus la puissance augmente. Mais, plus α est grand, plus on augmente les risques d'erreur de Type I (i.e. rejeter H₀ à tort)

Skew

Voir asymétrie

Taille d'effet

On peut simplifier le concept par "la distance moyenne entre deux distributions"

Pour l'ANOVA, on mesure la taille d'effet avec l'η²_partiel.

si η²_partiel < .01, on considère l'effet comme "petit"
si η²_partiel entre .06 et .09, on le considère comme "moyen"
si η²_partiel entre .16 et .25, on le considère comme "petit"

Test de Student

C'est un test qui vise à vérifier l'erreur d'échantillonnage. On va donc comparer la moyenne de notre échantillon (m) à la moyenne d'une population sous l'hypothèse nulle.

On va créer le score t où $t = \frac{m - μ_{H 0}}{s_{m}} = \frac{m - μ_{H 0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}$

Par exemple, on veut examiner si la moyenne de 104.1 et un écart-types de 12.58 (i.e. une variance de 158.4) obtenu avec un échantillon de 56 personnes est différent de la moyenne 100, on fait : $t = \frac{104 - 100}{\sqrt{\frac{158.4}{56}}} = 2.45$

Le score test une forme de standardisation sous une loi de Student (ressemble à une loi normale, surtout quand l'échantillon est grand) centrée autour de 0, avec un écart-type de 1.

On va ensuite comparer le score t à la distribution théorique sous H₀ où p-val = prob_H0(|T|>|t|). Dans notre exemple, p(|T|>|2.45|) = 0.01737 = 1.737 %

Théorème central limite

Globalement ce concept dit que, si l'on prend les moyennes de différents échantillons issus d'une population donnée, ces dernières vont suivre une distribution normale. Cette distribution sera centrée sur la moyenne de l'échantillon et aura un écart-type plus faible que l'écart type de la population. Mathématiquement, on a :

$μ_{m_{x}} = μ$
$σ_{m_{x}}^{2} = \frac{σ^{2}}{n}$

Variance

En langage naturel, on peut dire que c'est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. En tant que telle, la valeur de la variance n'est pas vraiment interprétable, mais elle a de très intéressantes propriétés mathématiques. C'est pourquoi on utilise plutôt l'écart-type.

C'est un type d'écart à la moyenne. Mathématiquement, on l'exprime comme: $V a r (X) = σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$

On l'appelle parfois aussi l'écart quadratique moyen.

Sources

Erdemli, A., Audrin, C., & Sander, D. (2025). An Integrative Appraisal Model of Epistemic Curiosity. Affective Science, 1-12. https://doi.org/10.1007/s42761-025-00328-7